Lấy (1) cộng (2) ta được

\(\hept{\begin{cases}2x^2+2y^2+4z^2+t^2=122\\x,y,z,t\in N\end{cases}=>}t=2n\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+2z^2+2n^2=61\)

\(\Rightarrow M=61+2n^2\)

(1) trừ (2)\(\Leftrightarrow y^2+z^2-n^2=20\)

n=0 ; y=2; z=4; x=5

=> Min M =61 khi n=0

(x;y;z;t)=(5;2;4;0)

Lấy (1) cộng (2) theo từng vế ta có:

\(2\left(x^2+y^2+2z^2+t^2\right)-t^2=122\)

\(\Rightarrow M=\frac{122+t^2}{2}=61+\frac{t^2}{2}\ge61\forall t\)

=> Min M = 61 khi t = 0

Với t = 0 từ (1) \(\Rightarrow x^2-y^2=21\)

Hay: \(\left(x+y\right)\left(x-y\right)=21\)

Vì \(x,y,z,t\in N\) nên ta có 2 TH:

TH1:

\(\hept{\begin{cases}x-y=1\\x+y=21\end{cases}\Leftrightarrow x=11,y=10}\) (loại vì không thỏa mãn (2) )

TH2:

\(\hept{\begin{cases}x-y=3\\x+y=7\end{cases}\Leftrightarrow x=5,y=2}\)(thỏa mãn)

Thay vào (2) ta được: z = 4

Vậy: Min M  = 61 tại x = 5, y = 2, z = 4, t = 0

=.= hk tốt!!

\(\hept{\begin{cases}x^2-y^2+t^2=21\left(1\right)\\x^2+3y^2+4z^2=101\left(2\right)\end{cases}}\)

Cộng (1) và (2) ta có :

\(2x^2+2y^2+4z^2+t^2=122\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+2z^2+t^2\right)-t^2=122\)

\(\Rightarrow2M=122+t^2\ge122\Rightarrow m\ge61\Rightarrow Min_M=61.\)

Khi \(t=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2-y^2=21\\x^2+3y^2+4z^2=101\left(3\right)\end{cases}.}\)

Vì x, y nguyên không âm nên :

\(\left(x-y\right)\left(x+y\right)=21\)

TH1: \(\hept{\begin{cases}x-y=1\\x+y=21\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=11\\y=10\end{cases}}\)Thế vào (3) ta được \(4z^2=-320\left(loại\right).\)

TH2: \(\hept{\begin{cases}x-y=3\\x+y=7\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=5\\y=2\end{cases}.}\)Thế vào (3) ta được \(4z^2=64\Leftrightarrow z^2=16\Leftrightarrow z=4\left(z\ge0\right).\)

Vậy ta tìm được \(\left(x,y,z,t\right)=\left(5;2;4;0\right)\)thì \(Min_M=61.\)

cộng vế 2 cái đẳng thức đề cho, đc: \(2x^2+2y^2=122-t^2-4z^2\) \(\Rightarrow x^2+y^2=61-\frac{t^2}{2}-2z^2\)

Thay vào M đc: \(M=61+\frac{t^2}{2}\) (t nguyên ko âm) => Min M = 61 khi t =0 

 Giải hệ \(\hept{\begin{cases}x^2+3y^2+4z^2=101\\x^2+y^2+2z^2=61\\x^2-y^2=21\end{cases}}\)sẽ ra đc giá trị của x2, y2, z2. nhưng hệ này vô số nghiệm thì phải

Đặt \(P=x^2+y^2+2z^2+t^2\)

Cộng vế với vế: \(2x^2+2y^2+4z^2+t^2=122\)

\(\Leftrightarrow2P-t^2=122\Rightarrow2P=122+t^2\ge122\)

\(\Rightarrow P\ge61\)

\(P_{min}=61\) khi \(\left(x;y;z;t\right)=\left(5;2;4;0\right)\)

\(2x^2+3y^2+4z^2=21\Rightarrow2x^2\le21-3.1^2-4.1^2=14\)

\(\Rightarrow x\le\sqrt{7}\)

Tương tự ta có \(y\le\sqrt{5}\) và \(z\le2\)

Do đó:

\(\left(z-1\right)\left(z-2\right)\le0\Rightarrow z^2+2\le3z\Rightarrow4z^2+8\le12z\) (1)

\(\left(x-1\right)\left(2x-10\right)\le0\Rightarrow2x^2+10\le12x\) (2)

\(\left(y-1\right)\left(3y-9\right)\le0\Leftrightarrow3y^2+9\le12y\) (3)

Cộng vế (1);(2) và (3):

\(\Rightarrow12\left(x+y+z\right)\ge2x^2+3y^2+4z^2+27\ge48\)

\(\Rightarrow x+y+z\ge4\)

\(M_{min}=4\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(1;1;2\right)\)

Theo chứng minh ban đầu ta có: \(z\le2\Rightarrow z-2\le0\)

Theo giả thiết \(z\ge1\Rightarrow z-1\ge0\)

\(\Rightarrow\left(z-1\right)\left(z-2\right)\le0\)

Tương tự: \(x< \sqrt{5}< 5\Rightarrow x-5< 0\Rightarrow2x-10< 0\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(2x-10\right)\le0\)

y cũng như vậy